c) (UR) jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań), jeśli i wtedy zbiór rozwiązań ma wymiarów (rozwiązania zależą od parametrów) Uwaga Warto zauważyć, że układy równań liniowych mogą mieć jedynie: zero rozwiązań, jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań - nie ma pośrednich przypadków. Definicja: Układ równań nieoznaczony Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym. Przykład 5 Poszukajmy teraz rozwiązań układu równań. Każde z równań układu przekształcamy równoważnie doprowadzając do najprostszej postaci. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa. Rozwiązanie . Zadanie 5. Określić liczbę rozwiązań układu równań przy użyciu twierdzenia Kroneckera-Capellego. Rozwiązanie . Wskazówki i teoria. Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy. to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony). Jeżeli rzędy macierzy głównej i macierzy rozszerzonej są sobie równe ale są mniejsze od liczby niewiadomych rank(A) = rank(A b) 0 i a22+b22>0. Ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli W≠0. , jest to układ Cramera. Ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli W=Wx=Wy=0. Nie ma rozwiązań, jeśli W=0 i (Wx≠0 lub Wy≠0) TIX5X4. Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym (tożsamościowym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań. Rozwiąż równianie: \[3x+1=-3x-2\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 3x+1&=-3x-2\\[6pt] 3x+3x&=-2-1\\[6pt] 6x&=-3\\[6pt] x&=-\frac{1}{2} \end{split}\] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2}\), zatem jest to równanie oznaczone. Rozwiąż równianie: \[2\cdot (5x-3)+3=3\cdot (2x-1)+4x\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 2\cdot (5x-3)+3&=3\cdot (2x-1)+4x\\[6pt] 10x-6+3&=6x-3+4x\\[6pt] 10x-3&=10x-3\\[6pt] \end{split}\] Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe). Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod \(x\) da równanie prawdziwe. Przykładowo dla \(x=7\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 7-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 70-3&=70-3\\[6pt] 67&=67 \end{split}\] Tak samo np dla \(x=2\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 2-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 20-3&=20-3\\[6pt] 17&=17 \end{split}\] Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci \(0=0\). W tym przykładzie również: \[\begin{split} 10x-3&=10x-3\\[6pt] 10x&=10x\\[6pt] 0&=100\\[6pt] \end{split}\] Rozwiąż równianie: \[7x-2=7x+3\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 7x-2&=7x+3\\[6pt] 7x-7x&=3+2\\[6pt] 0&=5 \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie: \[x^2=4\] nie jest ani oznaczone, ani nieoznaczone, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania: \[x=-2\quad \lor \quad x=2\] Równanie: \[x^2=-4\] jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną. nieskończenie wiele rozwiązań układu równań Karla: układ równań { 4x+2y=10 6x+ay= 15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A. a=−1 B. a=0 C. a=2 D. a=3 bardzo prosze o pomoc, bo trochę tego nie rozumiem byłoby miło gdyby któś podał mi też kiedy układ ma tylko jedno ropzwiązanie a kiedy wcale 19 gru 18:49 ser: a=3 nieskonczenie wiele 19 gru 18:50 Karla: a mógłbyś powiedzieć dlaczego tak? 19 gru 18:51 ogipierogi: podstawiam w miejsce a, trójkę i mam układ ⎧4x+2y=10/razy 3 ⎩6x+3y=15/razy −2 wszystkie wyrazy się redukują i otrzymujesz 0=0 układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań 19 gru 19:00 19 gru 19:02 Metoda wyznaczników Metoda ta służy do rozwiązywania układów równań – dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Jest to bardzo prosta i schematyczna metoda, często używana w programowaniu. Wymaga jednak pamiętania wzoru, w odróżnieniu od metody podstawiania lub przeciwnych współczynników, gdzie pamiętać trzeba tylko schemat działania a nie wzór. Rozwinięciem tej metody jest twierdzenie Cramera. Aby rozwiązać układ równań metodą wyznaczników, należy skorzystać z podanego równania: \(\left\{\begin{matrix} {\color{DarkRed}{a_1}}x+{\color{DarkGreen}{b_1}}y={\color{DarkBlue}{c_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}}x+{\color{DarkGreen}{b_2}}y={\color{DarkBlue}{c_2}} \end{matrix}\right.\) i obliczyć następujące wyznaczniki: \(W=\begin{vmatrix} {\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}} \cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\) \(W_x=\begin{vmatrix} {\color{DarkBlue}{c_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\ {\color{DarkBlue}{c_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkBlue}{c_1}} \cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}}\) \(W_y=\begin{vmatrix} {\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkBlue}{c_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkBlue}{c_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}} - {\color{DarkBlue}{c_1}}\cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\) Po obliczeniu wyznaczników, możemy spotkać się z trzema przypadkami, zgodnie z którymi określamy rozwiązanie: 1) dla \(W\neq 0\), układ określa się jako oznaczony, czyli posiada on jedno rozwiązanie: \(\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{W_x}{W}\\ \\ y=\dfrac{W_y}{W} \end{matrix}\right.\) 2) dla \(W=0\) i \(W_x=0\) i \(W_y=0\), układ jest nieoznaczony, posiada nieskończenie wiele rozwiązań. 3) dla \(W=0\) i jeśli choć jedno \(W_x\neq 0\) lub \(W_y \neq 0\) są różne od zera, to układ równań jest sprzeczny, czyli nie posiada rozwiązań. Przykładowe zadania Zad. 1) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 3x-y=1\\ x+2y=5 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 2) Rozwiąż metodą wyznaczników: \( \left\{\begin{matrix} 3x+2y=-8\\ 4x-y=-7 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 3) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 3x-2y=-16\\ 5x+3y=5 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 4) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 5x-3y=-13\\ 20x+7y=-223 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 5) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 7x-6y=52\\ 13x-3y=121 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zobacz również Równania trygonometryczne NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność Dodawanie i odejmowanie ułamków... Logika Właściwości i wzory logarytmów Stereometria Kąt półpełny Zbiór zdarzeń parami rozłącznych Jednomiany Kąt środkowy i wpisany Środkowa trójkąta Punkt przegięcia Zdarzenia przeciwne Kąty wierzchołkowe Kąt ostry poniedziałek, 11 listopada 2013 Ile rozwiązań może mieć układ równań? Układ równań może mieć: - jedno rozwiązanie - parę liczb np. x = 7, y = -5 i wówczas nazywamy go oznaczonym; - nieskończenie wiele rozwiązań - np. x = y i wówczas nazywamy go nieoznaczonym; - zero rozwiązań - np. 0x = 5 i wówczas nazywamy go sprzecznym. Rozwiązujcie układy równań i interpretujcie otrzymane wyniki, nazywajcie układy równań. POWODZENIA! Jeśli chcesz dodatkowych informacji na ten temat skorzystaj z linku: Autor: Ewa Liwska o 21:51 Brak komentarzy: Prześlij komentarz